該買威力彩嗎？

速食店裡，三個剛放學的高中生。戴俊邊吃著薯條邊滑手機，李杏則是邊啃著漢堡邊配著科學人雜誌，至於恕雪，雖然看似專注的喝著可樂，但眼神卻似乎思考著什麼問題。

「威力彩頭獎獎金上看10億耶！」戴俊興奮的說。

「喔。」一旁的李杏，冷淡的回答。

「幹麼這麼冷淡啊，花個100塊，買個希望啊！」戴俊不服氣的回應。

「樂透是用來懲罰那些機率沒學好的人。」李杏淡淡的說出這句名言。

 「啥？」戴俊一臉茫然。

「我們數學老師說的。樂透或是所有的賭博，玩家得到報酬的期望值都小於零，否則長久下來莊家一定會破產。」

「雖然聽不太懂，但好像蠻有道理的。」戴俊終究還是被說服了。

「其實，也未必喔。」一直沉默的恕雪突然開口，其他兩人都嚇了一跳。



期望值的定義

在上面那一段對話中提到的期望值，定義是：隨機試驗中，各種結果的發生機率乘上該結果的總和。也就是說，在重複多次隨機試驗後，我們預期所得到結果的平均值，就是期望值。

例如：投擲一個六面骰子，出現每一面的機率為1/6，每一面的點數為1~6，因此得到點數的期望值就是1×1/6+2×1/6+3×1/6+4×1/6+5×1/6+6×1/6＝3.5。

也就是說，當我們投擲一個骰子時，我們可以期望得到的點數是3.5。當然，我們不可能在任何一次的投擲中得到3.5這個點數，而是投擲多次後，我們所得到點數的平均值約為3.5。



期望值的應用

如果現在有一個骰子賭局，賭局的結果當然是由這顆六面骰子骰出的點數來決定。每賭一局需要賭金30元，當玩家骰到1點，就可以拿回30元賭金，莊家還會額外賠你90元，否則賭金就會被沒收。

請問，你該不該參與這個賭局？

這個賭局其實就是個隨機試驗，當考慮獲獎金額時，這個試驗有兩種結果，一種是玩家獲勝，也就是報酬是90元，機率則是1/6。另一種結果則是玩家輸，報酬是-30元，也就是輸掉了30元的賭金，機率是5/6。

因此，這個試驗的期望值就是90×1/6+(-30)×5/6＝-10元。

意思是說，這個賭局的期望回報是-10元。也就是說，你如果只賭一次，也許可能一口氣贏得90元，但是如果你長久參與這個賭局很多次之後，平均每賭一次會損失10元！

因此，期望值可以幫助我們決定是否要進行一個試驗，通常是個賭局。這也可以解釋為什麼不可能有賭客期望值大於零的賭局。因為若是對賭客的期望值大於零，那麼對莊家而言，期望值就小於零。

對於每個賭客來說，參與賭局的次數不多，所以無論期望值大小，都可能有勝有負。但是對莊家而言，必須不斷地開賭局，如果莊家期望值小於零，那麼長久下去，莊家一定會賠錢，沒有一個莊家會傻到開這樣的賭局。



該買威力彩嗎？

 回到正題，所以我們到底該不該買威力彩？或者該換個問法，什麼時候才應該買威力彩？

是要先看看當天的星座運勢怎麼說？

或是相信民間傳說，娶老婆前和生小孩後，各買一張試試看？

以上的說法到底有幾分可信，就由個人來決定了。如果是以數學的角度來看，關鍵就在於一開始的那段對話，也就是「頭獎金額」的多寡。

首先要介紹一下，威力彩的獎金分配方式。根據台灣彩卷官方網站上的說法，威力彩獎金分配的規則如下：

●參獎、肆獎、伍獎、陸獎、柒獎及捌獎每注獎金分別固定為150,000元、20,000元、4,000元、800元、400元及200元，玖獎及普獎每注獎金固定為100元。

●總獎金扣除上列獎項的獎金總額後，89%分配給頭獎獎金，11%分配給貳獎獎金。

因此，只要依據台灣彩卷公佈的「頭獎金額」，就可以推算出「貳獎金額」。其他各獎項的金額則都是固定的。

而各獎項的「中獎機率」，則是把各獎項的「中獎方式」除以「可能組數」。「可能組數」就是威力彩所有可能的號碼組合；各獎項的「中獎方式」就是中獎可能情況，例如，中頭獎只有一種可能。

把各獎項的「中獎金額」乘以該獎項的「中獎機率」，就是該獎項的單獨期望值。最後，把各獎項的期望值加總，再減去100，就是我們所希望求出的期望值了。在這裡的期望值算法和前面所使用的看起來有些不一樣，是因為買樂透時，無論中獎與否，當初所花的100元都不會被退回，因此必須考慮這固定損失的100元。

因此，買威力彩的期望值可以用以下的公式表示：

頭獎金額×中頭獎機率+貳獎金額×中貳獎機率+參獎金額×中參獎機率+…+普獎金額×中普獎機率-100

當這個數字大於零時，「買威力彩」才是一個數學上正確的決定。

除了頭獎和二獎外的獎項，獎金金額也都是固定的，貳獎獎金又約為頭獎獎金的1/8，因此，上述的公式可以再修改成下列的式子：

頭獎金額×中頭獎機率+(頭獎金額×1/8)×中貳獎機率+150000×中參獎機率+…+100×中普獎機率-100

由於各個獎項的中獎機率都是固定的，因此，上式中的唯一變數，就是頭獎金額，也就說，在目前的規則下，頭獎金額是決定期望值大小的唯一變數。因此，我們接下來要探討的是，頭獎金額要到達多少時，這個期望值才會大於零。



計算結果

假設某一期威力彩的頭獎獎金是10億，計算結果會如下圖所示，期望值約為5.95元。也就是說，平均每張可賺6元。這時候買威力彩，是個很科學的決定。如果想計算其他頭獎獎金下的期望值，可以點此連結，修改頭獎獎金。

不過，這裡並未考慮到兩人以上一起中頭獎的情況，如果發生這種情況，個人得到的頭獎獎金會大幅降低，從圖中可知整體期望值有大部份都來自頭獎，所以期望值會大幅下修。其他獎項的情況也大致相同。

另外，由於沒有考慮稅金的部份，因此讓期望值需要再度下修。

結論就是，在最樂觀的估算下，頭獎獎金都必須達到10億元左右，買樂透才是一件划算的事。當然，這是數學上的角度，前面提到各種不同的迷信，或許對每個人而言，都有不同的效果，就看個人覺得有多少參考價值了。



結語

「原來還有這層學問，以前都沒想過耶。」聽完恕雪的說明，李杏滿臉佩服的說。

「是啊，那我們真的該好好考慮什麼時候才買樂透了。」戴俊接著說。

「對了，恕雪，像妳這麼數學這麼好，應該都計算得很清楚，那妳買過樂透嗎？」李杏好奇的問恕雪。

「有啊。」

「是什麼時候啊？那時的頭獎獎金是多少？」戴俊忍不住先追問。

「我不記得了，我只知道我會去買的原因，是因為那天抽到了超稀有的白金卡。」恕雪淡淡的說完後，另外兩人的薯條同時掉到桌面，恕雪則是優雅的繼續吃著她的漢堡。