從一則新聞談數學學習

雖然是前一陣子的新聞，但還是有討論的價值。

【新聞】建構式數學又挨罵 老師「估算」教法遭批

媒體幾乎一面倒的批評老師，認為明明可以用「簡單」的直式減法解題，老師卻要求要用「複雜」的估算法。


真的是如此嗎？


首先要清楚一個事實，而這個「事實」卻少有新聞提及。

這位同學被老師指正的內容，是習作的練習題，而不是考卷。而習作上很清楚的寫出，這單元是在學習「估算」。

圖片來源：丙紳隨筆

同一道數學題，常常會有很多種解法。配合學生的思考能力和數學背景，我們在不同的學習階段，有時會介紹類似但進階的數學概念，有時則是針對同一道問題，介紹利用不同概念的解法。

每升上一個階段，都會有部份學生在數學學習上遇到挫折。所以常常聽到類似的話：「我的小孩國小數學很好，為什麼到了國中就變差？」

除了課程變深外，還有一部分的原因，就是學生「只求找出答案」，而不去思考題目想測驗的能力；只要能用過去的知識得到答案，就不學習目前所教授的主題。

這種策略在一開始常常能得到不錯的效果，因為剛接觸新的內容時，所作的例題常以過去熟悉的例子為主。但是當題目越來越加深時，這些只會使用過去方法的學生，馬上就會遇到瓶頸。

每一個求學階段的主題，都有學會的必要。消極一點，是為了通過考試，積極一點，就是為了在下一個階段能夠順利的學習。要求學生做的練習題，事實上就是幫助學生更了解這個概念。

因此如果學生不利用該主題的概念來練習，那不就失去練習的意義了？




以下會舉兩個主題，各有兩道題目，第一道題目用初階或是進階解法都可以順利解出，第二道題目則是用初階解法會遇到一些困難，用進階解法會簡單很多。


一元一次與二元一次

一、包子一個15元，饅頭一個10元。小明一共買了10個，花了125元，則他各買了包子和饅頭各幾個？

【初階】
假設包子X個，饅頭10-X個。
15X+10(10-X)=125
解一元一次方程式。

【進階】
假設包子X個，饅頭Y個。
X+Y=10
15X+10Y=125
解二元一次聯立方程式。

二、有帳篷若干頂和若干位學生。若5人住一頂，則有4人沒得住；若6人住一頂，則多6個位置。問帳篷和學生各有多少？

各位可以試著分別用兩種方法解解看。


基準點

一、有五位同學，數學小考成績分別是82、85、78、76、79，則這五位同學的數學平均是幾分？

【初階】
(82+85+79+76+83)/5=81

【進階】
以80分為基準，則分數可以用+2、+5、-1、-4、+3表示，平均為(2+5-1-4+3)/5=1。所以平均為80+1=81分。

二、下表為班上同學身高次數分配表，試求班上同學平均身高。 

　身高　　人數

155～160　　9

160～165　　5

165～170　　8

170～175　　8

【初階】
(157.5*9+162.5*5+167.5*8+172.5*8)/30=？

【進階】
以162.5分為基準，則各組組中點可以用-5、0、+5、+10表示，平均為(-5*9+0*5+5*8+10*8)/30=2.5。所以平均身高為162.5+2.5=165公分。

讀者可以比較一下兩種方法需要的計算量。


看了這兩個例子，讀者可以想想，如果一直滿足於用初階解法解題，是不是很容易就遇到困難。


當然有人會認為，有些題目用初階方法就可以解，那就不需要用進階方法了，要「依題目選擇適合的方法」才是最佳策略。

這說法沒錯，但前提是「兩種方法你都很熟悉了」。當你熟悉的方法越多，代表工具越多，解題起來當然有更多選擇。


另外，也要考慮清楚時機。

考試時，只要是自己能夠想到，而且是正確的方法，就是好方法。

而平常學習時，就要考慮該單元的教學內容，然後利用該單元的方法來練習解題，才是最好的作法。


也許也有人會質疑，認為這樣的作法，會限制學生的創意。

還是同一句話，要看時機。

如果是開放的問題，只是要求學生解題，那方法當然越多越好。

但如果是為了熟悉概念做的練習，那就要達到「熟悉概念」這個目的。


最後用葉丙成教授的話做總結：「老師的職責就是讓孩子學會新的思考模式」。


參考資料

請尊重教師的專業！ | 丙紳隨筆

再論尊重老師的專業：「老師的職責就是讓孩子學會新的思考模式」 | 丙紳隨筆

被家長遺漏的真相 | 丙紳隨筆